张帼奋    吴国桢  

（浙江大学 数学科学学院，浙江杭州  310027）

摘要：概率论与数理统计是一门有着很强应用背景的课程，为了增强应用能力的培养，在课程中增加EXCEL实验是非常重要且行之有效的办法. 文章从三个方面介绍概率论与数理统计在线课程及教材中EXCEL实验的设计思路.

关键词： EXCEL实验；概率；统计；计算；学周刊

引言

    公共课概率论与数理统计是一门有着很强应用背景的课程，各高校非文科类的专业一般都会开设这门课. 与其他的公共数学课相比，它们相同的方面有：课程都立足于从基本概念出发，介绍相关知识点的来龙去脉，基本概念，基本思想，基本定理定律，计算步骤，如何运用，等等。但概率论与数理统计还有很重要的一个方面，就是课程应用方面能力的培养.这一点在以往的概率论与数理统计教学中一直是比较欠缺的. 而要补齐这块短板，增强这方面的知识，需要将统计计算内容引入到课程中. 当然，有很多的统计软件像SAS, SPSS, MATLAB等等都有很强的统计功能，但是这些软件的学习一般需要专门的教学与上机操作. 而作为公共课的概率论与数理统计课程学时数有限，一般没有设置专门的实验课课时，没有时间讲授这些内容. 如何解决这个矛盾？众所周知，EXCEL是使用电脑的人们都非常熟悉的电子表格软件，而EXCEL中的统计函数与数据分析工具已经能够解决概率统计课程中几乎全部的计算问题，并且不需要额外安装软件，学习也相对比较容易，基本上通过自学就可以掌握. 所以我们在概率论与数理统计课程中采用EXCEL编制实验应用. 从2015年起在中国大学MOOC平台上开设概率论与数理统计课程[1](该课程被评为2017年国家精品在线开放课程)，以及在概率论与数理统计教材[2]中，我们制作27个EXCEL实验(参考《概率统计实验》[3])详细介绍了在概率论与数理统计中如何实现EXCEL应用，内容从最开始的抛硬币，掷骰子模拟实验到最后的方差分析，回归分析实验. 下面我们来介绍一下在概率论与数理统计课程中制作EXCEL实验的设计思路.

一 应用EXCEL完善计算结果

    在概率论与数理统计中会涉及很多分布，比如二项分布，泊松分布，正态分布，卡方分布，t分布，F分布，等等，教学过程一般会介绍分布的产生背景，分布律或者概率密度函数的形式，分布的性质，数字特征等等.

    例如，设随机变量X～B(3, 0.4) (二项分布)，则X的分布律为P(X=0)=0.216, P(X=1)=0.432, P(X=2)=0.288, P(X=3)=0.064. 但如果有随机变量Y～B(30, 0.4)，则Y的分布律往往会表示为

中间用省略号代替，如果我们要计算P(Y=10)，或者P(10<Y≤20)，该如何完成？一般的教材上就很少提及了. 如果这是一个实际问题最终归结到要计算的结果，有没有现成快捷的计算方法？有！在EXCEL单元格中只要输入

“=BINOM.DIST(10,30,0.4,0)”确定，出来的“0.115185”就是P(Y=10)；而P(10<Y≤20)=P(Y≤20)-P(Y≤10)，在EXCEL单元格中输入两个值“=BINOM.DIST(20,30,0.4,1)”确定，即得P(Y≤20) =0.999144，“=BINOM.DIST(10,30,0.4,1)”确定，即得P(Y≤10)= 0.291472，两值相减即得P(10<Y≤20)=0.707672.

    此外，一般在概率论与数理统计教材后面都会附上标准正态分布函数表，卡方分布表，t分布表，F分布表等. 对于标准正态分布函数表，它能够查0～3.9之间的带两位小数的分布函数值，如果要查Φ(1.567)，则只能采用在Φ(1.56)=0.9406与Φ(1.57)=0.9418之间进行插值0.9414或者近似查Φ(1.57)为0.9418. 而如果要反查，找分位数就更麻烦了. 只是在数理统计教学中一般只用到标准正态分布的上0.05和上0.025分位数，对应的值为1.645和1.96，所以看上去避免了尴尬. 事实上只要在EXCEL单元格中输入“=NORM.S.DIST(1.567)”就可以得到Φ(1.567) =0.941443，输入“=NORM.S.INV(0.95)”就可以得到标准正态分布的上0.05分位数是1.644854，是不是很方便？又比如，设X～t(10)，求P(X>0.5). 一般教材上限于篇幅，只能查到该概率大于0.2，但通过在EXCEL单元格中输入“=T.DIST.RT(0.5,10)”就得到0.313947. 基于这样的目的，我们制作了“实验4 二项分布泊松分布概率计算（视频）”，“实验6 正态分布分布函数值与标准正态分布上分位数（视频）”和“实验12 三分布分位数，分布概率值（视频）”手把手教学生如何借助EXCEL计算概率值，分布函数值，分位数值等.

二 随机模拟与定理定律的可视化

    在概率论与数理统计教材中一般都会提到抛硬币试验，还会提到历史上著名统计学家他们做的抛硬币试验的数据. 不过如果现在老师布置一个作业让大家回去抛1万次硬币，统计正面出现的次数，计算正面出现的频率，估计基本上不会有人去做的. 那么为了得到频率数据，我们还有什么办法呢？没错！随机模拟. 在EXCEL中可以模拟抛硬币，掷骰子，贝努里试验，均匀分布试验等等，我们制作“实验1 抛硬币试验（视频）”和“实验2 投骰子（视频）”就是教学生如何模拟抛硬币掷骰子. 此外制作的“实验3 抛硬币掷骰子频率趋势实验”，既是“频率具有稳定性，其稳定值称为事件概率”这一结论有了直观演示，同时也是贝努里大数定律的可视化.

为了帮助学生更好地理解概率论与数理统计中的某些定理定律和概念，我们制作了若干实验. 例如对于泊松定理: 当n很大，p很小时，X～B(n, p)(二项分布)，记λ=np，Y～P(λ) (泊松分布)，则P(X=k)≈P(Y=k).我们制作了“实验5 二项分布与泊松分布近似效果实验”，见图1(a)(b)(c)，这三张图的参数都满足λ=np，图(a)的n不大，p不小，图(b) 的n很大，但p不小，图(c)的 n很大，p很小，通过直观对比，使学生更容易理解并记住泊松定理的条件，从而更好地掌握并运用定理.

又例如，大数定律与中心极限定理这一章内容不多，所以教学课时数也少，但内容又比较难懂，往往学生还没有明白老师在讲什么的时候，内容已经讲完了. 所以我们在这一章增加了两个实验“实验9 大数定律模拟”和“实验10 中心极限定理模拟”(见图2)，加上前面的实验3. 在这些实验中通过设置滚动条，学生可以自己操作，随着滚动条的移动，参数不断发生变化，随之相应的图形也发生改变，近似的效果一目了然. 所以这些实验是学习与掌握大数定律和中心极限定理思想的非常有用的辅助工具.

三 建立统计问题的EXCEL模板

数理统计是处理数据分析数据的一门学科，所以根据样本数据计算均值，标准差等是最基本的统计计算问题. 在此基础上，运用数据进行区间估计，假设检验，拟合优度检验，方差分析，回归分析，是数理统计的核心内容. 在数理统计的教学中，着重点是讲清楚统计思想，统计方法，实施步骤，至于具体的计算，一般教学双方都不重视，甚至认为很麻烦，其实这样的想法是非常不可取的. 因为统计问题本身就是通过对数据的分析去解释客观存在的现象，如果已经理解了数据的性质，知道了采用的方法，但是没有有效的计算工具，不能快速地得到计算结果，照样不能很好地解决实际问题. 为此，我们制作了15个实验，通过具体的例子，讲解单正态总体均值方差的区间估计和假设检验，双正态总体均值差方差比的区间估计和假设检验，拟合优度检验，单因素试验方差分析，一元线性回归的EXCEL实现，例如图3是实验14 单正态总体均值的置信区间计算（视频），图4是实验22 双正态总体均值差的假设检验（视频），学生通过视频学习，按照这些EXCEL教学模板进行计算，结果就非常简洁明了，方便实际应用.

四 结语

    正是基于上述三个方面的考虑，我们制作完成了27个EXCEL实验. 在概率论与数理统计MOOC课程和概率论与数理统计教材中可以通过扫描二维码进行自学，既不占用课时，同时又完善了课程内容. 而学生在学习过程中，既掌握了课堂的教学内容，又通过自学，自己操作，了解了EXCEL的强大功能，增加学习的趣味性，从而更有利于调动学习的主动性，积极性，达到更好的学习效果.

参考文献

[1] 张帼奋等. 概率论与数理统计MOOC课程，中国大学MOOC爱课程平台，网址：http://www.icourse163.org/collegeAdmin/termManage/275003.htm#/tp/sg.

[2]张帼奋，张奕主编. 概率论与数理统计[M]. 高等教育出版社，北京，2017.10.

[3]郭民之主编. 概率统计实验[M]. 北京大学出版社，北京，2012.8.

文稿来源：教育教学论坛编辑部 网址：www.jyjxlt.com