数学基础文化素质课程教学探索*

张峰， 陶然 

北京理工大学，信息与电子学院，北京 100081

[摘 要]集合论知识在数学体系中具有基础性的地位，是整个数学的基础。对各个专业的学生进行数学基础方面的教学，对于提高学生的文化素质具有重要的意义。通过设计相应的课程教学策略，培养了学生能够应用集合论的基本原理来思考和分析所从事专业当中涉及的问题，并能够用集合论知识中所蕴含的逻辑思维方法提升工程实际问题中数学描述和表达的深度与广度。

[关键词] 数学基础，集合论，文化素质，逻辑思维，教学实践

基金项目]2020 年度北京理工大学教改重点项目“新形势下信息与通信工程研究生教育教学及国际化人才培养的改革探索”， 项目编号：无 ； 2019 年度北京理工大学信息与电子学院教改项目“信号分析和处理核心课程教学改革探索与实践”的阶段性研究成果。项目编号：无

[作者简介]张峰（1981-），男，河南省新乡市，博士，北京理工大学信息与电子学院副教授，博士生导师，主要从事非平稳信号处理、机器学习和数学基础及其在课堂教学实践的研究；陶然（1964-），男，安徽省南陵市，博士，北京理工大学信息与电子学院教授，信息与通信工程、应用数学双学科博士生导师，国家杰出青年科学基金获得者，教育部长江学者特聘教授，百千万人才工程国家级人选，全国高校黄大年式教师团队核心成员。主要从事复杂信息系统、信号与信息处理等科研领域和本硕博一体化贯通培养教学领域的研究。

[中图分类号]G642    [文献标识码]A       

一、前言

本科人才培养是重点大学最重要的人才培养部分，其中，课堂教学是本科人才培养的主渠道。如何提高本科教学质量，是整个本科教学改革中最为关键的部分。这其中涉及到大学教育教学的方方面面，而培养学生的文化素质、思维能力是关键的环节。

数学基础在学生的文化素质培养过程中，占有重要的地位。集合论知识作为数学的基础，几乎渗透到数学的所有方面。目前数学体系中的代数、分析、拓扑都是以集合论知识作为基础的。更为重要的是，集合论知识的学习过程也是锻炼思维能力的良好机会。通过集合论知识的学习，不仅可以夯实进一步学习后续数学课程的基础，了解已掌握数学知识背后的数学基础，而且还可以将集合论知识中的逻辑思考方法应用于生活和学习中的许多方面[1-6]。

通过集合论的学习，以集合论知识为基础，可以连接信息、通信、雷达、导航、生物医学、声学、图像、光学、模式识别、自动控制、数学等多个领域和多个学科，进而引导学生关注研究前沿和交叉学科，调动学生的自主学习能力，努力培养他们的创新意识和独立科研能力。打通以集合论为基础知识的数学类课程在“通识课程”-“专业课程”-“选修课程”-“科研创新”-“学位论文”等各个环节，贯通本硕博知识体系。

目前国内关于朴素集合论的课程设置方面，主要是在数学专业相关的课程中分布，而且并没有成系统的专门课程讲解朴素集合论，其他专业的学生更加难以接触到系统的集合论知识。在讲授方面，很多代数、分析、拓扑方面的课程如果涉及到集合论知识，也仅仅是用 3 学时左右的时间完成集合基本概念和性质方面的讲授，也就是说只讲授具体数学课程中所用到的一些集合论知识。

二、课程设计

（一） 课程目标和预期学习成果

通过课堂教学，使学生掌握集合论的基本知识和数学的逻辑思维方法；并使学生能够应用集合论的基本原理来思考和分析所从事专业当中涉及的问题，并能够用集合论知识中所蕴含的逻辑思维方法提升工程实际问题中数学描述和表达的深度与广度；培养学生深入思考的习惯。

通过集合论课程的学习，同学们应了解数学基础的发展史，了解不同数学分支的产生背景及它们之间的关系；掌握集合论的基本知识，能独立完成课上布置的随堂测验题目；可以依靠少量的知识点记忆，重点通过各个知识点之间逻辑链条，把集合论课程所学的知识点串联起来。培养数学的抽象和逻辑思维方法，并将这种思维方法应用到所学具体专业中。

（二） 课程内容

整个这门课程的学习内容包含如下 5 个模块：

（1） 数学基础的发展史。包括欧几里得几何、

Peano 自然数公理、ZFC 集论。

这一部分主要是对数学基础的发展史做一个介绍，使得同学们了解数学基础最初是从几何学中起源的，在几何学中，亚里士多德所建立的逻辑推理方法一直沿用至今。这其中，相对于几何学，代数学发展较为缓慢，因为代数学相对于几何学而言，比较抽象。后来，随着解析几何学的出现，代数学迎来了大发展。之后的微积分的发明，促使人们需要对日常使用的数系进行逻辑上的考察，而其中的自然数起到基础的作用。在各种数系通过逻辑建立的过程中，各种各样的无限数集出现了，这就促进了集合论的诞生，进而也促进了公理化集合理论的发展。

（2） 集合的定义与性质。包括集合的基本运算与恒等式。

由于本课程讲授的是朴素集合论，所以，这一部分给出了集合的一些基本概念和性质，其中，以集合代数为核心内容。通过这一部分的学习，使得同学们了解到集合的一些基本性质，包括：元素与集合的属于关系，集合之间的包含关系，以及集合之间的交、并、补、积、幂运算等。

（3） 关系。包括关系的定义与性质、等价关系、偏序关系。

关系是集合论中一个重要的基础概念，它可以通过集合的乘积来定义。通过这一部分对关系的概念和性质进行介绍，使得同学们对关系的集合表示有了解，对最常用到的等价关系和偏序关系熟练掌握，进而就会对“等价”和“排序”如何采用集合进行合理的描述有了深刻的认识。

（4） 映射。包括映射的定义与性质、集合与映射。

在集合论的体系内完成映射的定义是非常重要的，这是由于映射也就是函数，在整个数学知识中占有举足轻重的地位。通过这一部分的学习，同学们会对在其他课程中所学习到的诸如函数、变换、映射等概念有了更加深刻的认识，进而对映射中的单射、满射、双射也会熟练掌握。

（5） 势与基数。包括集合的等势与优势、集合的基数。

通过前面集合论知识的铺垫，这一部分对集合论的核心内容—势和基数进行初步的介绍。对于集合而言，抽象地看，集合所含元素的多少，是一个基本的问题。通过这一部分的学习，同学们会了解到集合之间所含元素多少的比较方法，无限集和有限集的不同点在哪里，以及无限集的本质特点。

以上课程内容涉及整个数学体系的介绍和具体集合论知识点的讲解。其中内容(2)-(5)中包含了朴素集合论中最重要、最基本的知识，这些具体的知识以习题的形式对学生进行考察，从而定量分析学生对课上知识的掌握程度。学生熟练掌握这些知识，会极大促进学生对已学数学知识的再认识，极大促进在此基础之上对后续数学课程的理解。由于本课程除了讲授集合论本身的知识外， 在讲授过程中处处体现数学的逻辑思维方法。因此，以上课程内容的每一个部分都直接对应和支撑本课程的预期学习成果，可以说，本课程内容处处支撑了本课程的目标。

有关本课程设计的课程目标和课程内容之间的关系如图 1 所示。

图 1 课程目标和课程内容的关系

(三) 课程教学策略和考核办法

为了使同学们熟练掌握集合论的知识，深入理解数学的逻辑思维方法，作者在课程教学上采用了如下 3 方面的教学策略：

（1） 强化知识点之间逻辑链条的建立

当同学们对所需集合论的知识点掌握非常熟悉时，应该可以形成一种近似于“无”的感觉， 也就是说感觉这些知识点都是连接紧密的，不需要记住很多东西，可以依靠各个知识点之间逻辑链条，把各个知识点一一呈现出来。为了尽可能让同学们达到这种目标，作者在课程讲授上非常注重逻辑链条的建立。比如，在课程一开始就告诉同学们，集合论的知识点不需要大家记太多， 学习这门课程中的知识就好比数学归纳法中，只需要有一个 n=1 起点，并建立起 n 到 n+1 的逻辑链条，就可以把结论归纳到整个自然数集上。再比如，在讲授集合在映射下的像与原像时，告诉同学们，这些定义都是自然的、显然的，因为都是继承集合在关系下的像这种运算，所以当掌握关系的几种运算后，由于映射是具有单值的关系， 所以关系的运算与性质对于映射同样有效。

（2） 融合知识点讲解中的严谨性和通俗性

数学知识点强调其严谨性。为了同学们方便理解相关知识点，作者在保证讲解知识点严谨性的同时，也会通过类比自然生活中的例子进行通俗的示例。比如，在讲解等价关系时，先在严谨性方面，说明等价关系需要满足自反性、对称性、传递性；然后，再告诉同学们这些都是显然的， 都可以从现实生活中找到例子。比如，在座的同学们按照相同的姓氏关系，构成了一种等价关系， 它显然满足自反性、对称性、传递性；根据这三个性质来定义等价关系是显然的，也应该这么做， 如果是同学们来定义等价关系，结合生活中的例子，也会这么定义。再比如，在讲解集合列的上下极限时，除了给出其严谨的数学定义外，也构造生活中的例子进行阐述，比如考虑在座的同学， 假设有无限多个，将同学们排成一行，假设它们参加某种考试，考试成绩按照得满分和没得满分标记，则考察有无限个同学得满分的情况和只有有限个同学没有得满分的情况。通过这一类比， 则同学们容易理解相关概念。

（3） 知识点讲解中采用全程板书

为了促进同学们更好地理解数学的思维方法， 作者采用全程板书的教学方法。作者认为，只有 这样，才可以将授课老师对数学知识点的思维方 法，完全地、全程地、展现给同学们。同时，同 学们在一步一步的详细数学推导中，可以跟教师一同思考，加深学习印象；同时，获得详尽的数 学逻辑思考方法和技巧，也避免了采用幻灯片容

易跟不上授课教师节奏的情况。此外，作者也认为，像这种非实验类课程，不仅是数学课的讲授， 包括工程应用中的算法类课程，采用全板书的方法也更容易让学生跟上授课教师的节奏，深入接受更多的知识点。比如在这门课程中，不仅是相关定义与性质，包括各个性质的证明，各个例题讲解，都采用详细板书的方法。

在考核办法方面，本课程的考核分为三个方面：平时作业、课程论文、出勤和课上表现。其中，平时作业不采用计算类作业，而是采用证明类作业这种开放类作业，这样可以从平时作业中定量评价和考察同学们掌握相关知识的程度与逻辑思维能力。此外，课程讲解完后，布置课程论文，该论文也是开放性的课题，同学们可以从所学知识的广度上进行，也可以从所学知识的深度上进行。降低以往课程考核中的出勤率所占比重， 增加了课上表现成绩，通过此项成绩约束学生出勤，并且促进学生在课上认真听讲，有所收获。从这些方面，可以全面反映学生平时和整个学期掌握所学知识点的程度。

（四） 课程评价

在课程整体上，课程设计了整个 32 学时的课程内容，各个内容之间通过严密的逻辑链条整合为一体，环环相扣。整个课程内容的设计完全吻合本课程所要达成的目标。通过每章节结束后布置的课堂作业了解学生对具体内容的了解和数学思维方法的运用情况。

在课程的学生个体上，课程评价紧密结合课程的考核方法，以了解学生达到课程设计目标的程度。除了在平时作业中，实时掌握学生学习程度，在讲授课程中，作者也会在给出例题后，先让同学们思考 1-3 分钟，然后在板书过程中，也时时提问同学们，采用启发式的方法，引导同学们积极思考。从授课教师与同学们交互的过程中， 评价同学们对相关知识点的掌握程度。

三、课程特色

作者所选的课程教学内容取自于朴素集合论中最基本、最重要方面，这些知识也是作者本人通过多个数学学科中的知识总结凝练出来的，并非直接取自某一门具体数学学科的知识。同时， 作者在对这门课程的理解和讲授过程中，也形成了自己独到的见解。由于作者本人一直在电子信息领域学习和工作，充分理解工科学生对于数学

的感觉，所以作者更容易站在工程应用领域研究人员的角度去讲解纯数学的思想。

四、课程实施效果

作者开设校文化素质通识课的名称为：《集合论—开启理性思维的钥匙》。由于本门课程并不要求学生需要具备很多的数学知识，所以作者设置这门课程面向全校所有学院、所有年级开设。选这门课程的同学很多都是来自不同学院的“菁英班”、“卓越班”、“实验班”，以及“徐特立英才班”，包括“数学菁英班”、“物理菁英班”、“理学与材料菁英班”、“徐特立英才班”、“电气工程及其自动化卓越班”、“经济管理试验班”“电子信息实验班”、“电子信息全英文班”等。

考虑到整个课程只有 32 学时，因此，作者选取了朴素集合论中最重要、最基础的部分进行讲授。这些集合论知识对于绝大多数学生将来的数学知识学习而言，都是足够用的。为了更好地体现数学的思维方法和规律，在每节课的讲授过程中，作者尝试采用全程板书的教学方法，不采用任何辅助材料(比如幻灯片、教材等)。这样操作更有利于学生“从细节上”、“从整个过程中”体会数学的思维方法和规律。这种方法受到了同学们的热烈欢迎。这种方法减少了同学们的记忆材料， 帮助同学们利用逻辑链条把一个一个的知识点串起来，完成整个逻辑链条的建立。这就使得无论同学们来自于哪个学院、来自于哪个年级、未来

的目标是什么，都可以从这门课程中收获很多。

五、结论

作者拟在后面的 1-2 轮次的授课过程中，强化课程特色，做到对数学专业的学生有联系客观实际的促进，对工科专业的学生有实际应用提炼数学思想的促进，并将这门课程建设成精品课程。作者认为，精品课程标准中，最重要的标准是学生们的广泛认可。作者也拟在课程内容、评价方法等方面对本课程进行持续的改进。

[参考文献]

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