高圆圆  

德州科技职业学院青岛校区，山东青岛266232

摘要：《复变函数与积分变换》是机电一体化技术专业必修的基础课程，由于其数学理论难度较大，公式定理较为复杂，大部分学生在学习时感到困难，无序可循。而数学专业出身的教师，缺乏该课程在解决机电领域实际问题的经历，因此，不容易把握对于机电一体化专业的学生的教学思路和方法。本文结合多年为机电专业的学生教授本课程的经验，总结出针对机电一体化技术专业的学生讲授该门课程时需把握的若干点教学方法。

关键词：复变函数与积分变换，机电一体化技术，教学思路，学周刊

On the Teaching method of complex variable function and integral Transformation in mechatronics Technology Specialty

High circle

Qingdao Campus of Dezhou University of Science and Technology , Qingdao 266232 , Shandong

Abstract: "complex variable function and integral transformation" is a compulsory basic course for the major of mechatronics technology. Because of its great difficulty in mathematical theory and complicated formula and theorem, most students find it difficult and disorderly to study. However, the teacher majoring in mathematics lacks the experience of solving the practical problems in the field of electromechanical, so it is not easy to grasp the teaching ideas and methods for the students majoring in mechatronics. Based on the experience of teaching this course for many years for the students majoring in mechanical and electrical engineering, this paper summarizes some teaching methods which should be grasped when teaching this course to the students majoring in electromechanical integration technology.

Key words: complex variable function and integral transformation, mechatronics technology, teaching thought

复变函数与积分变换是工科类各专业的一门重要的基础理论课程，它是研究复数自变量复值函数的分析课程，包含复变函数和积分变换两大部分。在一定程度上可以说，该课程是微积分学的推广。独立成为一门课程则是因为它又有着自己独特的研究对象和数学方法^[1]。对于解决工程问题，尤其是机电一体化领域内的自动控制、系统分析等问题有着非常重要的作用。因此，在机电一体化领域的专业课程学习之前，开设《复变函数与积分变换》这门课程起到了至关重要的铺垫和数学理论的准备作用。现就对该课程在针对机电一体化技术专业的学生的授课过程中，教学方法上的一些问题进行如下阐述。

一、积极类比高等数学的纲领性内容，明确复变函数与积分变换的知识主线。

机电一体化技术专业的学生在大一学年，都会将《高等数学》学习完毕，之后，才会在大二学年中的第一学期学习《复变函数与积分变换》课程，因此，学生对于数学的学习思路会很自然地从高等数学上嫁接过来。复变函数与积分变换的主干知识链接起来为：变量—函数—极限—导数—微分—级数—积分变换，这样的知识脉络也的确和高等数学有着相似之处，因此在复变函数与积分变换的教授之初就应当向学生强调这一学习思路。

在讲解复变函数的主干知识点时，也可以积极地类比高等数学的相关知识。例如：

1、对复变函数极限的讲解。复变函数极限的概念与一元实变函数极限的定义有着本质的区别，但是在形式上相似，取值的思想一致。因此，教师可以引导学生从原有实变函数的极限概念上过渡过来，理解复变函数的极限问题。

而同时，也要着重强调其区别，即一元实变函数的极限中的是指在的邻域内，沿着数轴从的左右两个方向趋于，从而产生了左极限和右极限的概念；而对于复变函数的极限而言，趋近于的方式则是任意的，即从四面八方任意方向趋近于，可见，复变函数的极限要比复变函数的极限要求更为苛刻。与之相关的复变函数的连续问题，也可按照这种方法来讲解，即将复变函数在点处的连续等价为高等数学中两个二元实变函数在的连续问题。这样可以降低对复变函数极限、连续问题的理解难度，化解学生的畏难情绪，更好地掌握这样的基础性知识点。

2、对初等函数的讲解。复变函数领域内有指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等，虽然它们是被推广到复数领域内的函数，与实数函数有着本质的区别，但其形式上与相对应的一元实变函数相似。因此，教师在讲解这一问题时，就可以积极引导学生将实变函数中的相关性质移植过来，例如指数函数的周期性、乘法计算规则等；三角函数的周期性、奇偶性以及一阶导数公式等。而同时，需要强调其差别，如三角函数在复变函数领域内是无界的，在实变函数内却是有界的；对数函数在复变函数领域内是多值函数，在实变函数内却是单值函数等。

二、紧扣机电一体化领域中要解决的实际问题，重点讲解所需数学理论。

按照机电一体化技术专业的人才培养方案，《复变函数与积分变换》课程结束之后，才可以开设《《机械工程控制基础》、《传感器与检测技术》等专业核心课程。这些专业课程中会涉及到复变函数与积分变换中的很多数学理论，而这些工程应用，对于大部分学生来说，在学习复变函数与积分变换的过程中，不能预先感受到所需的数学理论有哪些，无法体会这门工程数学在实际问题中的作用，就会引起学生的学习动力不足，加之公式复杂繁琐，学生的困难感就会加剧。如果教师在教授过程中，没有去引入实际工程问题去做应用型的讲解，也会导致学生在学习时没有重点去学习，仅凭自我兴趣进行取舍，就会出现在后续学习这些专业核心课程时，遇到数学理论不扎实、定理含义不明确等问题，再回头去复变函数与积分变换中查找定理定义，再考虑其应用问题，从而增加学习专业核心课程的难度，降低学习效率。因此，在《复变函数与积分变换》的授课过程中，应当在以下几点处，适当引入机电一体化领域中的实例，进行讲解。例如：

1、讲解傅里叶变换部分要与《传感器与检测技术》中的信号处理部分相结合。

在机电一体化技术的专业课程《传感器与检测技术》中，会涉及到传感检测系统的信号进行处理的部分，要求学生将周期信号展开为傅里叶级数、将非周期信号展开为傅里叶变换，进而绘制信号的傅里叶频谱图。而这一部分即为傅里叶变换的工程应用之一。因此，教师在授课时，可将传感器中的信号处理问题列举部分实例，引导学生学习并掌握傅里叶变换的方法。

2、讲解拉普拉斯变换部分要与《机械工程控制基础》中的传递函数的推导、系统框图的建立相结合。

《机械工程控制基础》是经典控制理论的基本内容^[2]，是实现机电领域内自动控制所需的基础性控制理论，但也是机电一体化专业的学生普遍感到困难的专业核心课程之一，主要是因为涉及到的数学理论较为复杂，尤其是很大程度上借助了复变函数和拉普拉斯变换的数学方法。在机电领域中，要想对某一机械系统或电学系统进行数学分析，最重要的步骤就是建立系统的数学模型，并且用系统框图的形式表示出来。而框图中的每一个环节则是对应工程实际模块对应的传递函数。传递函数的推导来源于对系统的微分方程进行拉普拉斯变换，这也是拉普拉斯变换在机电领域中最重要的应用之一。因此，在讲授《复变函数与积分变换》课程中的拉普拉斯变换时，如果能够以机电领域中典型的工程模型，如质量-弹簧-阻尼系统、液压伺服系统、二端口电网路等为例，结合学生在大学物理课程中已经掌握的基础力学公式、电学定律来建立微分方程，应用拉普拉斯变换进行转换，得出代数形式的传递函数，学生会更加明确学习内容及应用意义，加深对拉普拉斯变换的重要性的认识，并且当再学到《机械工程控制基础》等专业课程中的系统模型建立时，也会很容易利用复变函数与积分变换中的拉普拉斯变换这一重要的数学理论工具。前后呼应，相得益彰。

三、及时归纳关联问题，总结有助于机电领域实际问题的工程数学思路。

复变函数与积分变换课程的开篇为复数、解析函数，而后就开始进入复变函数积分的计算问题，而这一问题，也潜伏在后续的级数、留数等问题中。而对复变函数积分的计算能力在学生在学习中，属于较为难掌握的数学能力之一。学生会感觉到在面对各种复杂的积分计算的题目时，不知如何寻找求解的方法，与此同时，他们又会感觉到涉及到复变函数的积分计算的公式、定理又有很多，如柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式、留数定理、特殊类型积分等，不知该作何选择。这就要求授课教师在讲解复变函数与积分变换的过程中，要把握前后章节中潜在的同类型问题的讲解思路，及时归纳计算积分的不同情况的应对方法，明确各种情况下选择计算方法的策略，使得学生在众多解决积分计算问题的途径中，不至迷茫，思路清晰。

参考文献

[1] 刘吉佑.复变函数与积分变换(M)，第1版，高等教育出版社，2015.

[2] 董霞，李天石，陈康宁.机械工程控制基础(M)，第1版，机械工业出版社，2012.

文稿来源：教育教学论坛编辑部 网址：www.jyjxlt.com